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  【附录一】常见分布汇总 一、二项分布 二项分布 (Binomial Distribution) , 即重复 n 次的伯努利试验 (Bernoulli Experiment) , 用 ξ 表示随机试验的结果, 如果事件发生的概率是 P,则不发生的概率 q=1-p,N 次独立重 复试验中发生 K 次的概率是。 二、泊松 poisson 分布 1、概念 当二项分布的 n 很大而 p 很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中 λ 为 np。通常 当 n≧10,p≦0.1 时,金沙国际登录平台就可以用泊松公式近似得计算。 2、特点——期望和方差均为 λ 。 3、应用(固定速率出现的事物。 )——在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换 台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客,以固定的平均瞬时速率 λ (或称密度)随机且 独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从 泊松分布 三、均匀分布 uniform 设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)=(x-a)/(b-a),a≤x≤b 则称随机变量 X 服从[a,b]上的均匀分布,记为 X~U[a,b]。 四、指数分布 Exponential Distribution 1、概念 2、特点——无记忆性 (1)这种分布表现为均值越小,分布偏斜的越厉害。 (2)无记忆性 当 s,t≥0 时有 P(Ts+tTt)=P(Ts) 即,如果 T 是某一元件的寿命,已知元件使用了 t 小时, 它总共使用至少 s+t 小时的条件概率, 与从开始使用时算起它使用至少 s 小时的概率 相等。 3、应用 在电子元器件的可靠性研究中,通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果 五、正态分布 Normal distribution 1、概念 2、中心极限定理与正态分布(说明了正态分布的广泛存在,是统计分析的基础) 中心极限定理:设从均值为 μ 、方差为 σ ^2;(有限)的任意一个总体中抽取样本量为 n 的样本,当 n 充分大时,样本均值的抽样分布近似服从均值为 μ 、方差为 σ ^2/n 的正态分 布。 3、特点——在总体的随机抽样中广泛存在。 4、应用——正态分布是假设检验以及极大似然估计法 ML 的理论基础 定理一:设 X1,X2,X3.。 。Xn 是来自正态总体 N(μ ,δ 2)的样本,则有 样本均值 X~N(μ ,δ 2/n)——总体方差常常未知,用 t 分布较多 六、χ 2 卡方分布(与方差有关)chi-square distribution 1、概念 若 n 个相互独立的随机变量 ξ ?、ξ ?、……、ξ n ,均服从标准正态分布(也称独立同 分布于标准正态分布) ,则这 n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和 构成 一新的随机变量,其分布规律称为 卡方 分布(chi-square distribution) ,其中参数 n 称为自由度 【注意】假设随机干扰项呈正态分布。因此,卡方分布可以和 RSS 残差平方和联系起来。用 RSS/δ 2,所得的变量就是标准正态分布,就服从卡方分布。 2、卡方分布的特点 (1) (2) 分布的均值为自由度 n,记为 E( ) = n。 (这个容易证明) ) = 2n。 分布的方差为 2 倍的自由度(2n),记为 D( (3)如果 互相独立,则: (独立可加减) 服从 服从 分布,自由度 分布,自由度为 ; 3、图形特点 4、应用 定理二,设 X1,X2,X3.。 。Xn 是来自正态总体 N(μ ,δ 2)的样本,则有 样本均值 X~N(μ ,δ 2/n) (n ? 1) S 2 2 ~χ ( n - 1) δ2 (1)正态分布以及卡方分布是 F 检验的基础。大量的检验用到了 F 检验:F 检验、三大 检验。 七、t 学生分布(用样本方差 s 来标准化)——Students t-distribution 1、概念(适用于δ 2 未知) 【理解】把样本标准正态化的 U 变换前提是方差已知,但总体方差是未知的,所以用样 本方差来代替总体方差。根据中心极限定理,抽样服从方差为总体方差除以 n 的正态分布。 由于在实际工作中,往往 σ 是未知的,常用 s 作为 σ 的估计值,为了与 u 变换区别,称为 t 变换,统计量 t 值的分布称为 t 分布(u 变换指把变量转换为标准正态分布) 【思考】 为什么样本方差比总体方差要小?因为一个是总体方差, 一个是样本均值的方 差。不同 2、特点 1)与标准正态分布曲线相比,自由度 v 越小,t 分布曲线愈平坦,曲线中间愈低,曲线 双侧尾部翘得愈高;自由度 v 愈大,t 分布曲线愈接近正态分布曲线,当自由度 v=∞时,t 分布曲线为标准正态分布曲线.。 。Xn 是来自正态总体 N(μ ,δ 2)的样本,则有 样本均值 X~N(μ ,δ 2/n) ,S 为样本方差 X ?μ ~ t(n - 1 ) S/ n 【注意】 S 是样本方差。 中心极限定理说的是样本均值的方差。 八、F 分布 F-distribution 1、概念 F 分布定义为:设 X、Y 为两个独立的随机变量,X 服从自由度为 k1 的卡方分布,Y 服 从自由度为 k2 的卡方分布,这 2 个独立的卡方分布被各自的自由度除以后的比率这一统计 量的分布 2、特点 (1)它是一种非对称分布; (2)它有两个自由度,即 n1 -1 和 n2-1,相应的分布记为 F( n1 –1, n2-1) , n1 –1 通常称为分子自由度, n2-1 通常称为分母自由度; (3)F 分布是一个以自由度 度决定了 F 分布的形状。 和 为参数的分布族,不同的自由 (4)F 分布的倒数性质: (5)残差平方和之比通常与 F 分布有关。 九、逻辑分布 logistic(分类评定模型)——最早应用最广的离散选择模型 1、概念 1 F (t ) ? 1 ? e ?t f (t ) ? e ?t (1 ? e ?t ) 2 F (t ) ? e ?t 1 ? F (t ) 2、特点 用作增长曲线并为二进制响应建模。在生物统计和经济领域使用。 Logistic 分布由尺度和位置参数描述。 Logistic 分布没有形状参数, 也就是说其概率密度 函数只有一个形状。 下列图形显示了不同参数值对 Logistic 分布的效应。 尺度参数的效应 位置参数的效应 Logistic 分布的形状与正态分布的形状相似,但 Logistic 分布的尾部更长。 十、伽马分布 1、概念——伽玛分布(Gamma Distribution)是统计学的一种连续概率函数。Gamma 分 布中的参数 α 称为形状参数(shape parameter) ,β 称为尺度参数(scale parameter) 。 假设随机变量 X 为 等到第 α 件事发生所需之等候时间, 密度函数为 特征函数为 伽马分布的可加性 当两随机变量服从 Gamma 分布,且单位时间内频率相同时,Gamma 数学表达式 若随机变量 X 具有概率密度 其中 α 0,β 0,则称随机变量 X 服从参数 α ,β 的伽马分布,记作 G(α ,β ). 九、extreme value distribution 极值分布 十、DF 分布与 ADF 分布——用于时间序列平稳性的单位根检验。 八、pareto 分布 十、weibull 分布

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