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文章关键词:金沙国际登录平台,拓扑球面

  (重庆理工大学数学与统计学院重庆 400054) 维球面的Heegaard 分解法, 后给出它们在纽结群中的某些应用。关键词:球面;拓扑分解;Heegaard 分解;扭结群 DOI: 10.3969/j.issn.1671-6396.2014.06.005 引言球面是拓扑学的重要研究对象。比如上世纪人们对球面 的同调群,同伦群的研究。又如本世纪初俄国数学家格里戈 YakovlevichPerelman [1,金沙国际登录平台2,3]证明了 著名的曼庞加莱猜:―任何一个单连通的,闭的三维流形一 定同胚于一个三维的球面。‖五维空间和五维以上的证明则 考虑穿孔 维欧氏空间加上 一个无穷远点,得到n 维球面。 以下是对3维球面的特殊的拓扑分解方法:Heegaard分解。 方法四:把3 维球面S 由斯梅尔(StevenSmale)在上世纪 60 年代初给出 。随着物理学的快速发展,最近三十年弦论日益成为数学界与物理 x1 学界的研究热点。人们同样地研究了球面的弦拓扑[5,6] 在几何拓扑中,Heegaard分解是指把一个紧致定向的 维流形分解为两个环柄体。这一思想由Heegaard ,直到上世纪60 年代才由数学家 Wolfgang Haken FriedhelmWaldhausen 发展,后来经 Casson Gordon等人 的努力,Heegaard 分解已经成为研究 是反定向的同胚。沿着 粘合起来,我们得到一个紧致定向的边界。即 所以3维球面S 分解成为实心环的并。金沙国际登录平台这种分解也可 以作下述解释: 这两个实心环的共同边界是Clifford 环面: 称作该分解的其中一个实心环是 Heegaard 曲面。Heegaard 分解称为极小的或具有极小亏格 维流形的更低亏格的其他分解。另一个实心环是 Heegaard 曲面的极小亏格 Heegaard亏格。 面的Heegaard 分解法,然后给出它们在纽结群中的某些应用。 拓扑分解方法一:考虑 方法五:3维球面S 的Heegaard亏格为0,金沙国际登录平台即它有一个 维闭球做成的Heegaard分解。选取R B1与B2, 它们关于平面Π 镜面对称。现在考虑B1 的边界 2-球面ξ 与B2 的边界2-球面ζ 中分别挖去一点,比如说与平面 x1 相距最远的点P1ξ,P2ζ 。这样,ξ \{P1}与ζ \{P2} \{P2}通过显然的方式粘合起来。由于(式 1)被超平面 xn+1=0 分为两个 维半球面,而于是B 且当我们平行于xn+1 把每个半球面投影到超平面 xn+1=0 维闭球的边界拓扑地映射到另一个 球面。方法二:考虑 的Alexandrov紧化知道,我们得到 方法六:用下述性质:―如果对已知的流形已经有了一个亏格为g 的Heegaard 分解,那么我们可以从每个环柄体中 移除一个实心的柱体ID,它与另一个粘合起来,得到原 来流形的一个亏格为g+1 的Heegaard 分解‖,我们可以重新将 由于赤道超平面xn=0 维球面S分解成为实心环的并。 如同方法五,把3 维球面S 平面xn=0 镜面对称的边界点,得到 维球面。得到。取 中一个3维的单位球体作为第一个球 中的补集是另一个3维球体 2。现在从 ,所得的拓扑空间就是实心环。由于 后,所得的拓扑空间也是实心环。把第一个环面的子午线曲线与第二个环面的经线 维球面S 在扭结群中的应用(m,n)-环面纽结的扭结群表示为

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