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  * * * * * 单叶双曲面是直纹面(定义见马鞍 面)。 单叶双曲面是双重的直纹面,即:它有两个直母线 截痕法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 §4.6 抛物面 一、椭圆抛物面 x z y 0 截痕法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 . §4.6 抛物面 一、椭圆抛物面 ( 与 同号) 椭圆抛物面 用截痕法讨论: (1)用坐标面 与曲面相截 截得一点,即坐标原点 设 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 椭圆抛物面方程 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时,这种椭圆的中心都在 轴上. 与平面 不相交. (2)用坐标面 与曲面相截 截得抛物线 与平面 的交线为抛物线. 它的轴平行于 轴. 顶点 (3)用坐标面 , 与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 时可类似讨论. z x y o x y z o 椭圆抛物面的图形如下: 特殊地:当 时,方程变为 旋转抛物面 (由 面上的抛物线 绕 z 轴旋转而成的) 与平面 的交线为圆. 当 变动时,这种圆的中心都在 轴上. 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 x z y 0 截痕法 一、双曲抛物面(马鞍面) 截痕法 . x z y 0 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 一、双曲抛物面(马鞍面) 截痕法 . x z y 0 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 一、双曲抛物面(马鞍面) ( 与 同号) 双曲抛物面(马鞍面) 用截痕法讨论: 设 图形如下: x y z o §7 单叶双曲面与双曲抛物面 的直母线 《解析几何》 -Chapter 4 Contents 一、直纹曲面的概念 二、单叶双曲面是直纹曲面 三、双曲抛物面是直纹曲面 四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质 平面、柱面、锥面有什么共同的特征呢? 一、直纹曲面的概念 柱面和锥面都是直纹曲面; 椭球面不是直纹曲面; 定义 由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面(ruled surface),生成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线. 椭圆抛物面不是直纹曲面. 平面是直纹曲面; 双叶双曲面不是直纹曲面; 有没有更复杂的直纹曲面呢?有哪些二次曲面可能是直纹曲面呢? 例(教材P153) 求直线 绕直线 旋转所得的旋转曲面的方程. 单叶旋转双曲面 Back 直纹曲面模型 直纹曲面模型 单叶双曲面 二、单叶双曲面是直纹曲面 如果曲面 S 上存在一族直线) 直线族中的每条直线都在曲面 S 上. (1) 曲面 S 上的每个点必定在这个族中的某一条直线 对于单叶双曲面上的点,两族直母线中各有一条直母线通过这点. Back O x z y 三、双曲抛物面是直纹曲面 三、双曲抛物面是直纹曲面 双曲抛物面 悉尼歌剧院 四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质 定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面,而双曲抛物面上异族的任意两直母线 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线,而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面. 例题 例1 求过单叶双曲面 上的点 的直母线的方程. 分析: 将(6,2,8)代入上述直母线族方程, 求得 w , u , t , v. 例题 例2 试证明双曲抛物面 上的两直母线直交时,其交点必在一双曲线 已知空间两异面直线间的距离为 ,夹角为 ,过这两直线分别作平面,并使这两平面相互垂直,求这样的两平面交线的轨迹. * 单叶双曲面是直纹面(定义见马鞍 面)。 单叶双曲面是双重的直纹面,即:它有两个直母线系。 * * 在平面上,双曲线有渐进线。相仿, 单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。 用z=h去截它们,当h无限增大时, 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近,即:双曲面和锥面任意接近。 * x y o z x y o z 旋转单叶双曲面 x y z x y z 长形旋转椭球面 扁形旋转椭球面 旋转抛物面 x y z o x y z o 几种 特殊旋转曲面 1 双叶旋转曲面 2 单叶旋转曲面 3 旋转锥面 4 旋转抛物面 5 环面 x 0 y 1 双叶旋转双曲面 绕 x 轴一周 x 0 z y . 绕 x 轴一周 1 双叶旋转双曲面 x 0 z y . 1 双叶旋转双曲面 . 绕 x 轴一周 a x y o 2 单叶旋转双曲面 上题双曲线 绕 y 轴一周 a x y o z . 上题双曲线 单叶旋转双曲面 a . x y o z . . 2 单叶旋转双曲面 上题双曲线 旋转锥面 两条相交直线 绕 x 轴一周 x y o . 两条相交直线 绕 x 轴一周 x y o z 3 旋转锥面 x y o z . 两条相交直线 绕 x 轴一周 得旋转锥面 . 3 旋转锥面 y o z 4 旋转抛物面 抛物线 绕 z 轴一周 y o x z . 抛物线 旋转抛物面 y . o x z 生活中见过这个曲面吗? . 4 旋转抛物面 抛物线 绕 z 轴一周 得旋转抛物面 卫星接收装置 例 . 5环面 y x o r R 绕 y轴 旋转所成曲面 5环面 z 绕 y轴 旋转所成曲面 y x o . 5环面 z 绕 y轴 旋转所成曲面 环面方程 . 生活中见过这个曲面吗? y x o . . 救生圈 . 5 环面 二次曲面的定义: 三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面. 相应地平面被称为一次曲面. 讨论二次曲面形状的截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌. 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面. 二次曲面 截痕法 用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面 a b c y x z o §4.4 椭球面 椭球面的方程 椭球面与三个坐标面的交线: 椭球面 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 椭球面与平面 的交线为椭圆 同理与平面 和 的交线也是椭圆. 椭球面的几种特殊情况: 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成. 旋转椭球面与椭球面的区别: 方程可写为 与平面 的交线为圆. 球面 截面上圆的方程 方程可写为 §4.5 双曲面 单叶双曲面 (1)用坐标面 与 曲面相截截得中心在原点 的椭圆 一、单叶双曲面 与平面 的交线为椭圆. 当 变动时,这种椭圆的中心都在 轴上. (2)用坐标面 与曲面相截 截得中心在原点的双曲线. 实轴与 轴相合,虚轴与 轴相合. 单叶双曲面图形 x y o z (3)用坐标面 ,与曲面相截 均可得双曲线. 二、 双叶双曲面 双叶双曲面 x y o z 单叶: 双叶: . . . y x z o 在平面上,双曲线有渐进线。 相仿,单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们,当h无限增大时, 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面 的截口椭圆任意接近,即: 双曲面和锥面任意接近。 渐进锥面: 双曲面及其渐进锥面 水桶的表面、台灯的罩子面等. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹. 曲面方程的定义: 曲面的实例: 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 观察柱面的形成过程: 定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线叫柱面的准线 柱面 母线 准线 柱面举例: 抛物柱面 平面 抛物柱面方程: 平面方程: 从柱面方程看柱面的特征: (其他类推) 实 例 椭圆柱面, 双曲柱面 , 抛物柱面, 母线// 轴 母线// 轴 母线. 椭圆柱面 x y z O 2. 双曲柱面 §4.2 锥面 定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面. 这些直线都叫做锥面的母线. 那个定点叫做锥面的顶点. 锥面的方程是一个三元方程. 特别当顶点在坐标原点时: n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面; 方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程: 准线 顶点 F(x,y,z)= 0. 反之,以原点为顶点的锥面的方程是n次齐次方程 锥面是直纹面 x 0 z y 锥面的准线不唯一,和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的母线. 请同学们自己用截痕法 研究其形状. 椭圆锥面 解 圆锥面方程 或 定义4.3.1 以一条 平面曲线绕其平面 上的一条直线旋转 一周所成的曲面称 为旋转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 观看演示 §4.3 旋转曲面 这条曲线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 重新演示 分析 曲线 C C y z o 绕 z轴 §4.3 旋转曲面 曲线 C x C y z o 绕z轴 . §4.3 旋转曲面 曲线 C 旋转一周得旋转曲面 S C S M N z P y z o 绕 z轴 . f (y1, z1)=0 M(x,y,z) . x ? S §4.3 旋转曲面 曲线 C 旋转一周得旋转曲面 S x C S M N z P . 绕 z轴 . . f (y1, z1)=0 M(x,y,z) . y z o ? S §4.3 旋转曲面 建立旋转曲面的方程: 如图 将 代入 得方程 方程 例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程. 旋转双叶双曲面 y z o x y z o x * 单叶双曲面是直纹面(定义见马鞍 面)。 单叶双曲面是双重的直纹面,即:它有两个直母线系。金沙国际平台网址 * * 在平面上,双曲线有渐进线。相仿, 单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。 用z=h去截它们,当h无限增大时, 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近,即:双曲面和锥面任意接近。 * * * * * * 单叶双曲面是直纹面(定义见马鞍 面)。 单叶双曲面是双重的直纹面,即:它有两个直母线系。 如果曲面与三元方程有下述关系: 曲面上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面上的点的坐标都不满足方程; 那么,方程就叫做曲面 的方程,而曲面就叫做方程的图形. 只含而缺 的方程,在空间直角坐标系中表示母线平行于 轴的柱面,其准线 直线绕另一条与相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角叫圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为 轴,半顶角为的圆锥面方程. 面上直线)点到轴的距离 坐标面上的已知曲线绕 轴旋转一周的旋转曲面方程. 同理:坐标面上的已知曲线绕轴旋转一周的旋转曲面方程为 (1)xOz面上双曲线分别绕 轴和 轴; 绕轴旋转 绕轴旋转 (1)xOz面上双曲线分别绕 轴和 轴; (2)yOz面上椭圆分别绕轴和轴旋转; 绕轴旋转 绕轴旋转 (3)yOz面上抛物线绕 轴; 定理 单叶双曲面 , 是直纹曲面.它有两族直母线) 定理 单叶双曲面 , 是直纹曲面。它有两族直母线) 对于单叶双曲面上的点,两族直母线中各有一条直母线通过这点. 定理 双曲抛物面 , 是直纹曲面.它有两族直母线) 对于双曲抛物面上的点,两族直母线中各有一条直母线通过该点. 单叶双曲面的两族直母线方程为: 与

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